Рекомендации по проведению уроков и тексты программ к заданиям
вижу - и запоминаю,
делаю - и понимаю.
(Восточная мудрость)
В соответствии с этими средствами в течение длительного времени происходил отбор тем и формировалась методика. В ряде случаев применение новых технических средств может существенно изменить школьную математику. Ежегодно с 7-го класса школьники проходят по алгебре раздел о функциях (в 7-ом - линейная зависимость, в 8-ом - квадратичная, и т. д.). Но только в десятом классе учащиеся знакомятся с влиянием коэффициентов на сдвиги и сжатия-растяжения графиков функций. В девятом классе заучивают тригонометрические формулы, а с графиками тригонометрических функций знакомятся только на следующий год.
В этом разделе математики компьютер можно использовать для повышения наглядности, а также и как инструмент для математических экспериментов. Именно недостаточная наглядность и отсутствие возможности осваивать функциональные зависимости опытным путем приводят к тому, что большая часть школьников, не имеющих "готового" хорошо развитого формально-логического мышления, попадает в разряд неспособных к математике.
Для них освоение этого раздела сводится к овладению отдельными утилитарными навыками типа нахождения корней квадратного трехчлена.
Работая над этой главой пособия, школьники сначала самостоятельно подготовят инструмент - построитель графиков. А затем получат возможность строить десятки графиков, экспериментировать с коэффициентами, подбирать формулы для причудливых кривых, собирать красивые экземпляры в альбомы графиков. То есть смогут почувствовать красоту математики, пусть и лежащую на самой поверхности. А главное - значительно лучше поймут важнейший раздел математики.
Выполняя задания главы, учащиеся знакомятся с учебной исследовательской работой. Ведь они должны не только написать программу, но и научиться использовать ее для небольшого исследования: провести эксперименты, собрать данные (в числовом или графическом виде), проанализировать полученные результаты, сформулировать выводы. Наконец, подготовить простую презентацию (электронный альбом графиков).
27. Движение черепашки в декартовых координатах
Все предыдущие графические задачи решались с помощью команд относительного перемещения FD, BK и относительного поворота RT, LT. То есть в относительных полярных координатах. Переход к другому способу получения изображений, к абсолютным декартовым координатам существенно расширяет круг возможностей, но и вызывает естественные затруднения. Обратите внимание ваших учеников на то, что, решая задания этой главы, они не должны пользоваться командами FD, BK, RT и LT.
это тчк :x :y
setsh 1
pu setx :x sety :y pd stamp
end
27.5
это оси :M
ox1 :M ox2 :M oy1 :M oy2 :M
end
это ox1 :M
make "s 0
repeat 300 / :M [setx :s штрих1 make "s :s + :M]
setx 0
end
это ox2 :M
make "s 0
repeat 300 / :M [setx :s штрих1 make "s :s - :M]
setx 0
end
это oy1 :M
make "s 0
repeat 180 / :M [sety :s штрих2 make "s :s + :M]
sety 0
end
это oy2 :M
make "s 0
repeat 180 / :M [sety :s штрих2 make "s :s - :M]
sety 0
end
это штрих1
sety 5 sety 0
end
это штрих2
setx 5 setx 0
end
Ваши ученики, вероятно, привыкли строить график параболы в тетради в два приема: от нуля вправо, затем от нуля - влево. Подскажите им, что в программе нецелесообразно повторять такую последовательность действий. Начальное значение абсциссы естественно выбирать в левой полуплосткости (отрицательное число) и затем последовательно ставить точки слева направо, увеличивая абсциссу.
Сценарий программы, приведенный в пособии, соответствует итеративному построению процедуры. Однако, работая над главами 5 и 6, школьники освоили оба способа организации повторений в программах: и итерацию, и рекурсию. Теперь они могут выбирать тот способ, который им больше понятен. Поэтому приведены оба варианта решений.
это график1
setc 14 setsh 1
make "x -40
repeat 80 [make "y 0,1 * :x * :x тчк :x :y make "x :x + 1]
end
это график2 :x
if :x > 80 [stop]
тчк :x 0,1 * :x * :x
график2 :x + 1
end
это тчк :x :y
if and :y < 180 :y > -180
[pu setx :x sety :y pd stamp]
end
29.2
это функция :N :x
if :N = 1 [make "y :x * :x * 0.1]
if :N = 2 [make "y 50 * sin 5 * :x]
if :N = 3 [make "y :x * sin 5 * :x ]
end
29.3
это график :N :цвет :шаг
setc :цвет setsh 1
make "x -300
repeat 600 / :шаг
[функция :N :x
тчк :x :y
make "x :x + :шаг]
end
if :x > :x_кон [stop]
функция :N :x тчк :x :y
график :N :x + :шаг :шаг
end
Обратите внимание на на правильную запись функциональных
зависимостей. Нельзя "опускать" знаки умножения, надо помнить о пробелах,
отделяющих все арифметические знаки (кроме "унарного" минуса, как, например,
в выражении -2 * :x). Особенно важно правильно расставлять скобки.
Например, уравнение y = 50 sin x cos x должно
быть записано так:
30. Изменение масштаба графика
Введение масштаба - последнее усовершествование программы. После этого можно провести разнообразные "лабораторные работы" по исследованию графиков. Большая часть заданий к этому параграфу предполагает построение некоторого семейства графиков по заданному признаку. После того, как школьники справятся с этой задачей, необходимо помочь им в определении общей формулы полученного семейства. Часто такое задание вызывает затруднения.
это график :N :цвет :шаг :M
setc :цвет setsh 1
make "x -300 / :M
repeat 600 / :шаг
[функция :N :x
точечка :M * :x :M * :y
make "x :x + :шаг / :M]
end
if :x > :x_кон [stop]
функция :N :x тчк :x :y
график :N :x + :шаг / :M :шаг :M
end
В блоке заданий с параболами необходимо, чтобы учащиеся связали с соответствующими заданиями различные способы представления квадратичной функции. Для проведения параболы через две точки, лежащие на оси абсцисс, целесообразно использовать запись в виде произведения двучленов; для перемещения вершины в заданную точку - выделение полного квадрата.
Важно, чтобы ваши ученики не только получили правильные результаты, но и аккуратно и достаточно полно оформили их в виде "электронного альбома графиков". Желательно, чтобы на каждом листе были помещены поясняющие и обобщающие надписи: уравнение для каждой кривой, общая формула всего семейства кривых, название (заголовок) листа.
31. Построение графиков тригонометрических функций
Выполняя задание 31.3, учащиеся знакомятся с влиянием коэффициентов на сжатия-растяжения графиков по осям.
Задания 31.2, 31.4, 31.5 представляют наглядные "доказательства"
тригонометрических тождеств.
На первом рисунке: прибавление коэффициента к x сдвигает
синусоиду вправо на "пи пополам" и
кривая совмещается с графиком функции y = cos x.
На втором рисунке: построив график функции y = sin x cos x,
мы видим, что получилась синусоида, "сжатая"
вдвое по обеим осям. Чтобы так деформировать график функции y = sin
x, нужно ввести коэффициенты:
Вы можете использовать материал этой главы как основу для индивидуальных проектов ваших учеников. И затем провести экзамен по информатике за 9-ый или 10-ый класс в форме защиты таких работ. Вот примеры тем для проектов.
- Построить семейства касательных к параболам, гиперболам, окружностям, эллипсам.
- Построить семейство парабол, имеющих две общие точки, не лежащие на одной горизонтали. Выяснить, как будут располагаться вершины этих парабол.
- Дополнить процедуру построения графика функции одновременным построением графика производной этой функции. (Нужно вычислять отношение приращения ординаты к шагу по оси x).
- Построить семейство графиков степенных функций (с натуральным, дробным, рациональным показателем).