Хотим:
Вопрос: Как выглядит доход в зависимости от цены базвого актива для купленного колл-опциона (long call)?
Будем говорить, что если значение некоторой переменной непредсказуемо меняется со временем, то мы наблюдаем стохастический процесс.
Процессы бывают: непрерывные и дискретные.
Дискретные
Непрерывные
Марковский процесс - процесс, при котором только текущее значение переменной дает хоть какую-либо информацию о будущем значении переменной.
Вопрос: А как может быть иначе?
Иначе может быть так, что какие-то исторические показатели влияют на будущие значения. Примеры:
Утверждение. Обычно предполагается, что цены акций являются марковскими процессами (т.е. на наши предсказания не должно влиять то, где была цена день/месяц/год назад). Это согласуется со слабой формой гипотезы об эффективности рынка (https://www.investopedia.com/exam-guide/cfa-level-1/securities-markets/weak-semistrong-strong-emh-efficient-market-hypothesis.asp) - (технический анализ обычно "не работает").
Вопрос: А почему, собственно, не работает "стандартный" технический анализ - поиск известных паттернов и закономерностей?
Ответ: Потому что если что-то станет известно широкой публике, то оно перестанет работать в силу изменения поведения большого числа участников. Еще один интересный пример такого явления - кривая Филиппса (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81%D0%B0)
Прикладной вопрос. Рассмотрим переменную, которая следует Марковскому стохастическому процессу. Допустим, ее текущее значение равно 10 и ее изменения за год - случайная величина, распределенная нормально $N(0, 1)$. Какое же тогда будет распределение ее изменения за два года?
Ответ: Изменение за 2 года - это сумма двух изменений за год. Т.к. с.в. марковская - эти случайные величины независимы. Мы знаем, что сумма двух нормальных величин есть нормальная величина. Также можем посчитать матожидание и дисперсию. Поэтому получаем ответ - $N(0, 2)$.
Продолжение: А как же тогда будет распределено изменение наблюдаемой величины за 6 месяцев?
Ответ: Аналогично рассуждая приходим к выводу, что это $N(0, 0.5)$
Важный вывод: В условиях предыдущей ситуации распределение изменения случайной величины за время $T$ - $N(0, T)$.
Упражнение: докажите это.
Частный случай Марковского стохастического процесса, с нулевым средним изменением и дисперсией изменения единица называется винеровским процессом (https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process).
Рассмотрим http://www.randomservices.org/random/brown/index.html (особенно рекомендую standard brownian motion и two-dimensional brownian motion). Про любые четыре модели уметь отвечать на следующие вопросы:
Формальное определение винеровского процесса: Случайная величина z следует Винеровскому процессу, если выполняются два условия:
Упражнение: Доказать что (для больших $\Delta t$):
Разложение винеровского процесса в сумму Рассмотрим изменение переменной z, следующей винеровскому процессу: $z(T) - z(0)$. Это приращение можно представить как сумму изменений $z$ за $N$ последовательных периодов времени: \begin{equation} z(T) - z(0) = \sum_{i=1}^N{\epsilon_i \sqrt{\Delta t}} \end{equation} Здесь все $\epsilon_i$ - имеют стандартное нормальное распределение.
Из второго свойства винеровского процесса (независимость) получаем, что:
Замечание: В мат. анализе мы переходим от "маленьких изменений" к пределу, когда эти маленькие изменения стремятся к нулю. Иными словами обозначение $dx = a \cdot dt$ используется для того, чтобы сказать, что $\Delta x \approx a \cdot \Delta t$. Мы будем использовать аналогичные обозначения. То есть когда $dz$ - это изменение винеровского процесса, мы будем считать, что речь идет о поведении в пределе, при $\Delta t \rightarrow 0$.
Следующая картинка иллюстрирует то, как меняется наш взгляд на процесс, при $\Delta t \rightarrow 0$:
Задача: Заметим, что чем меньше $\Delta$, тем картинка становится все более "зазубренной". Почему так происходит? Можете объяснить в терминах стандартных отклонений?
Ответ: Так происходит потому, что стандартное отклонение изменения $z$ за время $\Delta t$ равно $\sqrt{\Delta t}$ как мы уже выясняли, что намного больше, чем $t$. Отметим еще два интригующих свойства, связанных с этим фактом:
Обобщенным винеровским процессом будем называть процесс, задаваемый уравнением:
\begin{equation} dx = adt + bdz \end{equation}Здесь $a$ будем называть скоростью дрифта (drift rate), а $b$ - степенью разброса (variance rate).
Упражнение: Напишите формулу, выражающую $\Delta x$ через $\Delta t$ для обобщенного винеровского процесса исходя из определения.
Решение: $\Delta x = a \cdot \Delta t + b\epsilon \sqrt{\Delta t}$, где как и прежде $\epsilon$ обозначает реализацию стандартного нормального распределения.
Упражнение: чему равны матожидание $\Delta x$, стандартное отклонение и дисперсия?
Решение: Матожидание - $a \Delta t$, стандартное отклонение - $b \sqrt{\Delta{t}}$, дисперсия - $b^2 \Delta t$.
Упражнение: чему равны матожидание изменения (достаточно большого) x, за время $T$, стандартное отклонение и дисперсия?
Решение: Матожидание - $a T$, стандартное отклонение - $b \sqrt{T}$, дисперсия - $b^2 T$.
Матожидание - $a \Delta{t}$, стандартное отклонение - $b \sqrt{\Delta t}$, дисперсия - $b^2 \Delta t$.
Определение: Процессом Ито называют обобщенный винеровский процесс такой, что параметры a и b являются функциями от времени и текущенго положения \begin{equation}dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz \end{equation}
При этом за короткий интервал времени от t до $t + \Delta t$ переменная $x$ меняется от x до $x + \Delta x$, где:
$$ \Delta x = a(x, t)\Delta t + b(x, t)\epsilon \sqrt{t}$$Вопрос: Является ли процесс Ито Марковским?
Ответ: Конечно да, ведь приращение x в момент t зависит только от x и t и не зависит от истории
Очень логичное предположение: цена акции следует винеровскому процессу. Однако, это противоречит одному важному аспекту рыночной структуры: (Какому?)
Ожидаемая процентная доходность от акции НЕ должна зависеть от ее цены! То есть коэффициент дрифта не может быть константным!
Задача Как будет выглядеть формула, описывающая движение цены акции в предположении, что коэффициент при dz равен нулю? (Случай полной определенности)
Ответ: Получится следующее: $\Delta S = \mu S \Delta t$, если взять предел при $\Delta t \rightarrow 0$, то получим $dS = \mu S dt$, или $\frac{dS}{S} = \mu dt$. Интегрируя между 0 и T получим: $S_T = S_0 e^{\mu T}$
На практике, конечно имеется неопределенность, поэтому естественная модель должна выглядеть так: $$dS = \mu S dt + \sigma S dz$$ или чуть по-другому: \begin{equation} \frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dz \end{equation}
Полученное выражение является самой известной моделью движения цен акций. Переменная $\mu$ называется ожидаемой доходностью, а $\sigma$ - называется волатильностью цены.
Разработанная нами модель называтся моделью геометрического броуновского движения. В случае дискретного времени модель можно записать так:
\begin{equation} \frac{\Delta S}{S} = \mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t} \end{equation}или \begin{equation} \Delta S = \mu S \Delta t + \sigma S \epsilon \sqrt{\Delta t} \end{equation}
Заметим при этом, что $\frac{\Delta{S}}{S}$ распределено как $N(\mu \Delta{t}, \sigma^2\Delta t)$
Задача из жизни Рассмотрим акцию, по которой не выплачиваются дивиденды, имеющую волатильность 30% годовых и имеющую ожидаемую доходность в 15% годовых.
Пара замечаний про параметры модели:
Ответ: $\Delta S = 0.00288 S + 0.0416 S \epsilon$
Предположим, что x следует процессу Ито: $dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz$, где dz - Винеровский процесс. Тогда утверждение состоит в том, что любая функция G(x, t) должна следовать процессу: \begin{equation} dG = (\frac{\partial G}{\partial x}a + \frac{\partial G}{\partial t} + 1/2 \cdot \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} b^2)dt + \frac{\partial G}{\partial x} b dz \end{equation}
Где $dz$ - это тот же самый винеровский процесс, что участвует в уравнении на x.
Задача* Докажите лемму Ито используя формулу Тейлора (для тех, кто знаком с ней)
Задача Докажите, что если $S$ следует разработанной нами модели движения акции, то тогда процесс $G = ln(S)$ будет удовлетворять уравнению \begin{equation} dG = (\mu - \frac{\sigma^2}{2})dt + \sigma dz \end{equation}
В частности, отсюда мы получаем: \begin{equation} ln S_T - ln S_0 \sim N[(\mu - \frac{\sigma^2}{2})T, \sigma^2 T] \end{equation} \begin{equation} ln S_T \sim N[(ln S_0 + \mu - \frac{\sigma^2}{2})T, \sigma^2 T] \end{equation}
Что означает, что в построенной нами модели цена акции в момент времени T распределена логнормально.
Напомним полученные результаты. Предполагается следующее:
Задача* Доказать, что:
Предположения:
1) Цена акции следует процессу,модель которого мы разработали ранее. $\mu$ и $\sigma$ не меняются со временем
2) Короткая продажа (short selling) и рефинансирование своей позиции разраешены
3) Нет никаких транзакционных издержек и налогов
4) В течении жизни опциона нет дивидендов
5) Нет безрискового арбитража
6) Торговля акциями непрерывна по времени и по количеству
7) Безрисковая ставка, r, константна и одинакова для всех экспираций
Итак, пусть акция следует процессу \begin{equation}dS = \mu S dt + \sigma S dz\end{equation} и пусть f - цена колл-опциона на S. Заметим, что $f$ должна быть функцией от S и t. А потому (по лемме Ито): \begin{equation} df = (\frac{\partial f}{\partial S}\mu S + \frac{\partial f}{\partial t} + 1/2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)dt + \frac{\partial f}{\partial S}\sigma S dz\end{equation}
Дискретные версии последних двух уравнений можно записать так: \begin{equation}\Delta S = \mu S \Delta t + \sigma S \Delta z\end{equation}
\begin{equation} \Delta f = (\frac{\partial f}{\partial S}\mu S + \frac{\partial f}{\partial t} + 1/2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)\Delta t + \frac{\partial f}{\partial S}\sigma S \Delta z\end{equation}При этом винеровский процесс, который лежит в основе и S и а - тот же самый. Иными словами $\Delta z (=\epsilon \sqrt{\Delta t})$ в двух уравнениях одно и то же.
Рассмотрим портфель, состоящий из -1 опциона и $\frac{\partial f}{\partial S}$ акций и обозначим его за $\Pi$. Тогда по определению его стоимость будет: \begin{equation} \Pi = -f + \frac{\partial f}{\partial S} S \end{equation}
Тогда изменение стоимость портфеля за время $\Delta t$ будет равно \begin{equation} \Delta \Pi = -\Delta f + \frac{\partial f}{\partial S} \Delta S \end{equation}
Подставляя результаты из (18) и (19) получаем: \begin{equation} \Delta \Pi = (-\frac{\partial f}{\partial t} - 1/2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)\Delta t \end{equation}
Заметим, что эта формула не включает $\Delta z$, а потому портфель безрисковый (в короткой перспективе, когда $\Delta t$ мало). А потому принимая во внимание предпосылки, мы получаем, что ожидаемая доходность такого портфеля должна совпасть с безрисковой ставкой. Иными словами: \begin{equation} \Delta \Pi = r \Pi \Delta t \end{equation}
Подставляя сюда выражения для $\Delta \Pi$ и $\Pi$ получаем \begin{equation} (\frac{\partial f}{\partial t} + 1/2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)\Delta t = r(f - \frac{\partial f}{\partial S}S)\Delta t \end{equation}
И если перегруппировать слагаемые получим следущее:
\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} + rS\frac{\partial f}{\partial S} + 1/2\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = rf \end{equation}Полученное уравнение и является дифференциальным уравнением Блека-Шоулза-Мертона!
Задача: Докажите, что следующие формулы задают решения уравнения Блека-Шоулза-Мертона:
\begin{equation} с = S_0 N(d_1) - K e^{-R t} N(d2) \end{equation}\begin{equation} p = K e^{-R t} N(-d2) - S_0 N(-d_1) \end{equation}где
\begin{equation} d_1 = \frac{ln(S_0 / K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} \end{equation}\begin{equation} d_2 = \frac{ln(S_0 / K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} = d_1 - \sigma \sqrt{T} \end{equation}