... (к прошлой лекции) Классный сайт для игр с нейронными сетями

Мотивация: опционы

  • Call и Put
  • Strike
  • Maturity
  • Европейский и американский опционы

Хотим:

  • придумать модель движения цены акции
  • лучше понять, что означает слово волатильность
  • придумать как рассчитать цену опциона и зачем тут математика

Вопрос: Как выглядит доход в зависимости от цены базвого актива для купленного колл-опциона (long call)?

Паттерны доходности:

title

title

title

title

Что предполагается известным (с прошлых лекций):

  • Что такое случайная величина распределена нормально? Почему она задается только матожиданием и дисперсией?
  • Что такое независимые случайные величины?
  • Сумма двух нормальных распределений - снова нормальное распределение
  • Матожидание суммы с. в. - это сумма матожиданий, дисперсия суммы независимых св - сумма дисперсий
  • Определение стандартного отклонения
  • Нормальная с. в. и стандартные отклонения: правило трех сигм

Классическая модель движения акции

Марковское свойство

Будем говорить, что если значение некоторой переменной непредсказуемо меняется со временем, то мы наблюдаем стохастический процесс.

Процессы бывают: непрерывные и дискретные.

Дискретные

  • Количество звонков в колл-центр за каждый день
  • Курс доллара на завтра, устанавливаемый ЦБ
  • Средняя температура за каждый день

Непрерывные

  • Зависимость температуры больного от времени
  • Другие "физические" процессы (напряжение, мощность, объем итд)

Марковский процесс - процесс, при котором только текущее значение переменной дает хоть какую-либо информацию о будущем значении переменной.

Вопрос: А как может быть иначе?

Иначе может быть так, что какие-то исторические показатели влияют на будущие значения. Примеры:

  • Количество звонков в службу поддержки в день (зависит от того, является ли сегодняшний день выходным, приехали ли болельщики на чемпионат итд)
  • Цена рыночного актива может быть автокоррелированна (то есть изменение сегодня статистически зависит от изменения вчера).
  • Процессы "с памятью" - сопротивление резистора в зависимости от тока (влияет, бывал ли уже сильный ток)

Утверждение. Обычно предполагается, что цены акций являются марковскими процессами (т.е. на наши предсказания не должно влиять то, где была цена день/месяц/год назад). Это согласуется со слабой формой гипотезы об эффективности рынка (https://www.investopedia.com/exam-guide/cfa-level-1/securities-markets/weak-semistrong-strong-emh-efficient-market-hypothesis.asp) - (технический анализ обычно "не работает").

Вопрос: А почему, собственно, не работает "стандартный" технический анализ - поиск известных паттернов и закономерностей?

Ответ: Потому что если что-то станет известно широкой публике, то оно перестанет работать в силу изменения поведения большого числа участников. Еще один интересный пример такого явления - кривая Филиппса (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D0%A4%D0%B8%D0%BB%D0%BB%D0%B8%D0%BF%D1%81%D0%B0)

Непрерывный стохастический процесс

Прикладной вопрос. Рассмотрим переменную, которая следует Марковскому стохастическому процессу. Допустим, ее текущее значение равно 10 и ее изменения за год - случайная величина, распределенная нормально $N(0, 1)$. Какое же тогда будет распределение ее изменения за два года?

Ответ: Изменение за 2 года - это сумма двух изменений за год. Т.к. с.в. марковская - эти случайные величины независимы. Мы знаем, что сумма двух нормальных величин есть нормальная величина. Также можем посчитать матожидание и дисперсию. Поэтому получаем ответ - $N(0, 2)$.

Продолжение: А как же тогда будет распределено изменение наблюдаемой величины за 6 месяцев?

Ответ: Аналогично рассуждая приходим к выводу, что это $N(0, 0.5)$

Важный вывод: В условиях предыдущей ситуации распределение изменения случайной величины за время $T$ - $N(0, T)$.

Упражнение: докажите это.

Винеровский процесс

Частный случай Марковского стохастического процесса, с нулевым средним изменением и дисперсией изменения единица называется винеровским процессом (https://en.wikipedia.org/wiki/Wiener_process).

  • Исходно такой процесс впервые был изучен на примере большого количества мелких частиц (молекул), которые испытывают соударения и потому иногда называется Броуновским движением.

Задача (лучше, чтобы был интернет, но если нет - готов давать скриншоты):

Рассмотрим http://www.randomservices.org/random/brown/index.html (особенно рекомендую standard brownian motion и two-dimensional brownian motion). Про любые четыре модели уметь отвечать на следующие вопросы:

  • Что моделируется? Что такое Х? Что такое Y?
  • Что можно сказать про значения Х и У еще до нажатия кнопки >?
  • Что означают числа в таблицах моделей?
  • Что меняет параметр модели (если он есть)?
  • Что будет происходить, если несколько раз нажать кнопку >> (вопрос про распределения)? Почему?
  • (*) Опишите, как вы бы писали такую программу как на представленных примерах (интересуют математические детали, а не программистские).

title

Формальное определение винеровского процесса: Случайная величина z следует Винеровскому процессу, если выполняются два условия:

  • Изменение $\Delta z$ в течении небольшого периода времени $\Delta t$ считается по формуле \begin{equation}\Delta z = \epsilon \sqrt{\Delta t} \end{equation} где $\epsilon$ - случайная величина, подчиненная стандартному нормальному распределению $N(0, 1)$.
  • Значения $\Delta z$ для любых двух временных интервалов времени $\Delta t$ являются независимыми.

Упражнение: Доказать что (для больших $\Delta t$):

  • $E(\Delta z) = 0$
  • $std(\Delta z) = \sqrt{\Delta t}$
  • $V(\Delta z) = \Delta t$

Разложение винеровского процесса в сумму Рассмотрим изменение переменной z, следующей винеровскому процессу: $z(T) - z(0)$. Это приращение можно представить как сумму изменений $z$ за $N$ последовательных периодов времени: \begin{equation} z(T) - z(0) = \sum_{i=1}^N{\epsilon_i \sqrt{\Delta t}} \end{equation} Здесь все $\epsilon_i$ - имеют стандартное нормальное распределение.

Из второго свойства винеровского процесса (независимость) получаем, что:

  • $z(T) - z(0)$ распределено нормально
  • $E[z(T) - z(0)] = 0$
  • $V[z(T) - z(0)] = N \cdot \Delta t = T$
  • $std[z(T) - z(0)] = \sqrt{T}$

Замечание: В мат. анализе мы переходим от "маленьких изменений" к пределу, когда эти маленькие изменения стремятся к нулю. Иными словами обозначение $dx = a \cdot dt$ используется для того, чтобы сказать, что $\Delta x \approx a \cdot \Delta t$. Мы будем использовать аналогичные обозначения. То есть когда $dz$ - это изменение винеровского процесса, мы будем считать, что речь идет о поведении в пределе, при $\Delta t \rightarrow 0$.

Следующая картинка иллюстрирует то, как меняется наш взгляд на процесс, при $\Delta t \rightarrow 0$:

title

Задача: Заметим, что чем меньше $\Delta$, тем картинка становится все более "зазубренной". Почему так происходит? Можете объяснить в терминах стандартных отклонений?

Ответ: Так происходит потому, что стандартное отклонение изменения $z$ за время $\Delta t$ равно $\sqrt{\Delta t}$ как мы уже выясняли, что намного больше, чем $t$. Отметим еще два интригующих свойства, связанных с этим фактом:

  • Ожидаемая длина пути, "пройденного z" на любом интервале равна бесконечности
  • Ожидаемое число раз, когда величина я будет равна любому фиксированному числу в любой временной интервал бесконечно.

Как выглядит винеровский процесс "вблизи":

title

Обобщенный винеровский процесс

Обобщенным винеровским процессом будем называть процесс, задаваемый уравнением:

\begin{equation} dx = adt + bdz \end{equation}

Здесь $a$ будем называть скоростью дрифта (drift rate), а $b$ - степенью разброса (variance rate).

title

Упражнение: Напишите формулу, выражающую $\Delta x$ через $\Delta t$ для обобщенного винеровского процесса исходя из определения.

Решение: $\Delta x = a \cdot \Delta t + b\epsilon \sqrt{\Delta t}$, где как и прежде $\epsilon$ обозначает реализацию стандартного нормального распределения.

Упражнение: чему равны матожидание $\Delta x$, стандартное отклонение и дисперсия?

Решение: Матожидание - $a \Delta t$, стандартное отклонение - $b \sqrt{\Delta{t}}$, дисперсия - $b^2 \Delta t$.

Упражнение: чему равны матожидание изменения (достаточно большого) x, за время $T$, стандартное отклонение и дисперсия?

Решение: Матожидание - $a T$, стандартное отклонение - $b \sqrt{T}$, дисперсия - $b^2 T$.

Матожидание - $a \Delta{t}$, стандартное отклонение - $b \sqrt{\Delta t}$, дисперсия - $b^2 \Delta t$.

Определение: Процессом Ито называют обобщенный винеровский процесс такой, что параметры a и b являются функциями от времени и текущенго положения \begin{equation}dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz \end{equation}

При этом за короткий интервал времени от t до $t + \Delta t$ переменная $x$ меняется от x до $x + \Delta x$, где:

$$ \Delta x = a(x, t)\Delta t + b(x, t)\epsilon \sqrt{t}$$

Вопрос: Является ли процесс Ито Марковским?

Ответ: Конечно да, ведь приращение x в момент t зависит только от x и t и не зависит от истории

Какого сорта процессом является движение цены акции

Очень логичное предположение: цена акции следует винеровскому процессу. Однако, это противоречит одному важному аспекту рыночной структуры: (Какому?)

Ожидаемая процентная доходность от акции НЕ должна зависеть от ее цены! То есть коэффициент дрифта не может быть константным!

Задача Как будет выглядеть формула, описывающая движение цены акции в предположении, что коэффициент при dz равен нулю? (Случай полной определенности)

Ответ: Получится следующее: $\Delta S = \mu S \Delta t$, если взять предел при $\Delta t \rightarrow 0$, то получим $dS = \mu S dt$, или $\frac{dS}{S} = \mu dt$. Интегрируя между 0 и T получим: $S_T = S_0 e^{\mu T}$

На практике, конечно имеется неопределенность, поэтому естественная модель должна выглядеть так: $$dS = \mu S dt + \sigma S dz$$ или чуть по-другому: \begin{equation} \frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dz \end{equation}

Полученное выражение является самой известной моделью движения цен акций. Переменная $\mu$ называется ожидаемой доходностью, а $\sigma$ - называется волатильностью цены.

Модель с дискретным временем

Разработанная нами модель называтся моделью геометрического броуновского движения. В случае дискретного времени модель можно записать так:

\begin{equation} \frac{\Delta S}{S} = \mu \Delta t + \sigma \epsilon \sqrt{\Delta t} \end{equation}

или \begin{equation} \Delta S = \mu S \Delta t + \sigma S \epsilon \sqrt{\Delta t} \end{equation}

Заметим при этом, что $\frac{\Delta{S}}{S}$ распределено как $N(\mu \Delta{t}, \sigma^2\Delta t)$

Задача из жизни Рассмотрим акцию, по которой не выплачиваются дивиденды, имеющую волатильность 30% годовых и имеющую ожидаемую доходность в 15% годовых.

  • Выпишете процесс, которому подчиняется цена акции
  • Выпишете формулу, позволяющую предсказать, какое будет изменение цены акции за неделю с вероятностью хотя бы 65% (подсказка - одна сигма)

Пара замечаний про параметры модели:

  • $\mu$ должно зависеть от ожидаемого риска (почему?)
  • Обычно значения параметра $\sigma$ находятся в пределах от 15% до 60%
  • Волатильность можно воспринимать как стандартное отклонение изменения цены акции через один год

Ответ: $\Delta S = 0.00288 S + 0.0416 S \epsilon$

Лемма Ито (1951)

Предположим, что x следует процессу Ито: $dx = a(x, t)dt + b(x, t)dz$, где dz - Винеровский процесс. Тогда утверждение состоит в том, что любая функция G(x, t) должна следовать процессу: \begin{equation} dG = (\frac{\partial G}{\partial x}a + \frac{\partial G}{\partial t} + 1/2 \cdot \frac{\partial^2 G}{\partial x^2} b^2)dt + \frac{\partial G}{\partial x} b dz \end{equation}

Где $dz$ - это тот же самый винеровский процесс, что участвует в уравнении на x.

Задача* Докажите лемму Ито используя формулу Тейлора (для тех, кто знаком с ней)

Логнормальное свойство

Задача Докажите, что если $S$ следует разработанной нами модели движения акции, то тогда процесс $G = ln(S)$ будет удовлетворять уравнению \begin{equation} dG = (\mu - \frac{\sigma^2}{2})dt + \sigma dz \end{equation}

В частности, отсюда мы получаем: \begin{equation} ln S_T - ln S_0 \sim N[(\mu - \frac{\sigma^2}{2})T, \sigma^2 T] \end{equation} \begin{equation} ln S_T \sim N[(ln S_0 + \mu - \frac{\sigma^2}{2})T, \sigma^2 T] \end{equation}

Что означает, что в построенной нами модели цена акции в момент времени T распределена логнормально.

Модель Блека-Шоулза-Мертона

  • Ранние 1970-е
  • Модель принадлежит авторам: Fisher Black, Myron Scholes, Robert Merton
  • Прорыв в построении моделей оценки Европейских опционов
  • В 1997 Мертон и Шоулз были награждены Нобелевской премией за создание модели
  • Фишер Блэк умер в 1995 не дожив до вручения премии
  • Подходы Фишера-Блека и Мертона к выводу модели несколько различаются, мы будем двигаться похожим на Мертона способом

Логнормальное свойство стоимостей акций

Напомним полученные результаты. Предполагается следующее:

  • Процентные изменения стоимости акции за короткие промежутки времени независимы и нормально распределены
  • Опреелим $\mu$ как ожидаемую годовую доходность акции, $\sigma$ - как годовую волатильность акции, тогда: \begin{equation} \frac{\Delta S}{S} \sim N(\mu \Delta t, \sigma^2 \Delta t) \end{equation}
  • \begin{equation} ln S_T \sim N[(ln S_0 + \mu - \frac{\sigma^2}{2})T, \sigma^2 T] \end{equation}

Задача* Доказать, что:

  • \begin{equation} E[S_T] = S_0 e^{\mu T} \end{equation}
  • \begin{equation} var[S_T] = S_0^2 e^{2 \mu T} (e ^{\sigma^2 T} - 1) \end{equation}

Вывод дифференциального уравнения Блека-Шоулза-Мертона

Предположения:

1) Цена акции следует процессу,модель которого мы разработали ранее. $\mu$ и $\sigma$ не меняются со временем

2) Короткая продажа (short selling) и рефинансирование своей позиции разраешены

3) Нет никаких транзакционных издержек и налогов

4) В течении жизни опциона нет дивидендов

5) Нет безрискового арбитража

6) Торговля акциями непрерывна по времени и по количеству

7) Безрисковая ставка, r, константна и одинакова для всех экспираций

Итак, пусть акция следует процессу \begin{equation}dS = \mu S dt + \sigma S dz\end{equation} и пусть f - цена колл-опциона на S. Заметим, что $f$ должна быть функцией от S и t. А потому (по лемме Ито): \begin{equation} df = (\frac{\partial f}{\partial S}\mu S + \frac{\partial f}{\partial t} + 1/2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)dt + \frac{\partial f}{\partial S}\sigma S dz\end{equation}

Дискретные версии последних двух уравнений можно записать так: \begin{equation}\Delta S = \mu S \Delta t + \sigma S \Delta z\end{equation}

\begin{equation} \Delta f = (\frac{\partial f}{\partial S}\mu S + \frac{\partial f}{\partial t} + 1/2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)\Delta t + \frac{\partial f}{\partial S}\sigma S \Delta z\end{equation}

При этом винеровский процесс, который лежит в основе и S и а - тот же самый. Иными словами $\Delta z (=\epsilon \sqrt{\Delta t})$ в двух уравнениях одно и то же.

Рассмотрим портфель, состоящий из -1 опциона и $\frac{\partial f}{\partial S}$ акций и обозначим его за $\Pi$. Тогда по определению его стоимость будет: \begin{equation} \Pi = -f + \frac{\partial f}{\partial S} S \end{equation}

Тогда изменение стоимость портфеля за время $\Delta t$ будет равно \begin{equation} \Delta \Pi = -\Delta f + \frac{\partial f}{\partial S} \Delta S \end{equation}

Подставляя результаты из (18) и (19) получаем: \begin{equation} \Delta \Pi = (-\frac{\partial f}{\partial t} - 1/2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)\Delta t \end{equation}

Заметим, что эта формула не включает $\Delta z$, а потому портфель безрисковый (в короткой перспективе, когда $\Delta t$ мало). А потому принимая во внимание предпосылки, мы получаем, что ожидаемая доходность такого портфеля должна совпасть с безрисковой ставкой. Иными словами: \begin{equation} \Delta \Pi = r \Pi \Delta t \end{equation}

Подставляя сюда выражения для $\Delta \Pi$ и $\Pi$ получаем \begin{equation} (\frac{\partial f}{\partial t} + 1/2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2}\sigma^2 S^2)\Delta t = r(f - \frac{\partial f}{\partial S}S)\Delta t \end{equation}

И если перегруппировать слагаемые получим следущее:

\begin{equation} \frac{\partial f}{\partial t} + rS\frac{\partial f}{\partial S} + 1/2\sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} = rf \end{equation}

Полученное уравнение и является дифференциальным уравнением Блека-Шоулза-Мертона!

Задача: Докажите, что следующие формулы задают решения уравнения Блека-Шоулза-Мертона:

\begin{equation} с = S_0 N(d_1) - K e^{-R t} N(d2) \end{equation}\begin{equation} p = K e^{-R t} N(-d2) - S_0 N(-d_1) \end{equation}

где

\begin{equation} d_1 = \frac{ln(S_0 / K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} \end{equation}\begin{equation} d_2 = \frac{ln(S_0 / K) + (r - \sigma^2/2)T}{\sigma \sqrt{T}} = d_1 - \sigma \sqrt{T} \end{equation}