Схема испытаний Бернулли

  • Проводится $n$ испытаний, в каждом из которых некоторое событие может наступить, а может и не наступить. - - Исходы в каждом испытании независимы
  • Обычно интересует число "успехов" Примеры:
  • Бросание монетки
  • Бросание мяча в кольцо в баскетболе
  • ?

Теорема. Если вероятность P наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность $P_{n,m}$ того, что событие наступит m раз из n равна:

$P_{n,m} = C_n^m p^m q^{n-m}$

Задача Вероятность изготовления на атоматическом станке стандартной детали равна 0.8. Найти вероятности возможного появления бракованных деталей среди 5 отобранных: $P_{0,5} \dots P_{1,5}$

$P_{0,5} = 0.33$; $P_{1,5} = 0.41$; $P_{2,5} = 0.20$; $P_{3,5} = 0.05$; $P_{4,5} = 0.006$; $P_{5,5} = 0.00032$;

title

Экспериментируем: http://www.randomservices.org/random/apps/BinomialCoinExperiment.html и смотрим, что такое гистограмма и как она получается

Число $m_0$ наступления А в $n$ независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если $P_{m_0,n} >= P_{m, n}$ для любого другого m.

Чему же оно равно? Угадаем?

Теорема Наивероятнейшее число наступлений удовлетворяет следующему неравенству: $np - q <= m_0 <= np + p$

(Доказательство теоремы):

title

Формула Пуассона

А что делать, если надо посчитать $P_{300, 500}$?

На помощь спешат ассимптотические формулы: формула Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Теорема. Если вероятность $p \rightarrow 0$ при $n \rightarrow 0$ так, что $np \rightarrow \lambda$, то $\lim_{n \to \infty} P_{m,n} = P_m(\lambda) = \frac{\lambda^m e^{-\lambda}}{m!}$

title

Замечание. На практике формулу используют при $np <= 10$.

Экспериментируем: http://www.randomservices.org/random/apps/PoissonExperiment.html

Локальная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность p наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то и вероятность того, что А произойдет в m из n испытаний при достаточно большом n приближенно равна: \begin{equation} P_{m,n} \approx \frac{f(x)}{\sqrt{npq}} \end{equation} где \begin{equation} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e ^ {-\frac{x^2}{2}} \end{equation} - функция Гаусса

и \begin{equation} x = \frac{m - np}{\sqrt{npq}} \end{equation}

Замечание. На практике полученные оценки используют как точные при $n >= 20$.

Замечание. Значения функции f обычно отображают в таблицах:

title§

Задача. В некотом городе из 100 семей в 80 есть машина. Найти вероятность того, что если на выпускной в школе собралось 400 семей, то на парковке перед ней будет 300 машин.

Свойства функции Гаусса:

  • Четность
  • Монотонно убывает при $x \to \infty$. На практике уже при $x > 4$ можно считать, что $f(x) \approx 0$
  • (Интеграл Эйлера) $\int_{-\infty}^{\infty} f(x) = 1$

Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Если вероятность p наступления события A в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключена в пределах от a до b (включительно) при достаточно большом n равна: \begin{equation} P_n(a <= m <= b) \approx \frac{1}{2}[F(x_2) - F(x_1)] \end{equation} где \begin{equation} F(x) = \frac{2}{\sqrt{2\pi}}\int_0^x e^{-t^2}dt \end{equation} - функция (или интеграл непрерывностей) Лапласа \begin{equation} x_1 = \frac{a-np}{\sqrt{npq}}, x_2 = \frac{b-np}{\sqrt{npq}} \end{equation}

Свойства функции F(x):

  • Четность/нечетность?
  • Монотонно возрастающая/убывающая?
  • $lim_{x\to\infty}$ F(x) = ? ( Подсказка: $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-z^2}dz = \sqrt{\pi}$ - Интеграл Эйлера-Пуассона)

Задача По данным предыдущей задачи (город с машинами) найти вероятность того, что на парковке будет от 300 до 360 машин. Можно пользоваться тем, что $F(5) \approx 1$, $F(2.5) \approx 0,9876$

Откуда же берется функция Гаусса?

Объяснение 1: Функция Гаусса как предельное распределение функции Пуассона

  • Докажем, что функция Гаусса получается как предельное положение функции Пуассноа в окрестности $k = \lambda$
  • Используем формулу Стирлинга: \begin{equation} n! \approx \sqrt{2\pi n} (\frac{n}{e})^n \end{equation}
  • Используем разложение логарифма в ряд Тейлора: \begin{equation} ln(1 + x) \approx x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots\end{equation}
  • И немножко преобразований - следите за руками! :)

Объяснение 2 появится в следующих лекциях..